Radioaktiver Zerfall: Unterschied zwischen den Versionen
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''A''(''t''): [[Aktivität]] des Radionuklids zum Zeitpunkt ''t'' in Bq (Erwartungswert);<br> | |||
''A''<sub>0</sub>: Aktivität des Radionuklids zum Zeitpunkt ''t'' = 0 in Bq;<br> | |||
''λ''<sub>r</sub>: Zerfallskonstante des Radionuklids r in s<sup>-1</sup>;<br> | |||
''t''<sub>r</sub>: [[Halbwertszeit, physikalische|Halbwertszeit]] des Radionuklids r in s.<br> | |||
Im Fall von radioaktiven Zerfallsreihen gelten je nach Anzahl der Tochternuklide entsprechend erweiterte Gleichungen. | Im Fall von radioaktiven Zerfallsreihen gelten je nach Anzahl der Tochternuklide entsprechend erweiterte Gleichungen. | ||
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Das Zerfallsgesetz kann mit einem rein statistischen Konzept begründet werden, welches auf zwei fundamentalen Annahmen beruht: | Das Zerfallsgesetz kann mit einem rein statistischen Konzept begründet werden, welches auf zwei fundamentalen Annahmen beruht: | ||
# der Zerfall eines einzelnen radioaktiven Atomkerns ist unabhängig von dessen | # der Zerfall eines einzelnen radioaktiven Atomkerns ist unabhängig von dessen Vergangenheit, d. h. Atomkerne altern nicht, und | ||
# für beliebige zwei Atomkerne eines Radionuklids genügen die Zeiten bis zum Zerfall exakt derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung.<br> | # für beliebige zwei Atomkerne eines Radionuklids genügen die Zeiten bis zum Zerfall exakt derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung.<br> | ||
Aus Annahme I kann mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung für einen einzelnen Atomkern die Wahrscheinlichkeit ''P''(''t'') hergeleitet werden, dass dieser nach der Zeitdauer ''t'' noch nicht zerfallen ist: | Aus Annahme I kann mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung für einen einzelnen Atomkern die Wahrscheinlichkeit ''P''(''t'') hergeleitet werden, dass dieser nach der Zeitdauer ''t'' noch nicht zerfallen ist: | ||
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Nach Annahme II ist ''P''(''t'') für alle Atomkerne dieses Radionuklids gleich.<br> | Nach Annahme II ist ''P''(''t'') für alle Atomkerne dieses Radionuklids gleich.<br> | ||
Es gilt weiter, dass für eine beliebige Anzahl ''N''<sub>0</sub>, auch eine sehr kleine, eine Binomialverteilung (diskrete Verteilung) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass nach der Zeitdauer ''t'' von ursprünglich ''N''<sub>0</sub> Atomkernen eine Anzahl ''n'' noch nicht zerfallen ist. Die Bestimmung des Erwartungswertes ''µ''(''n'') dieser Binomialverteilung führt zum Zerfallsgesetz: | Es gilt weiter, dass für eine beliebige Anzahl ''N''<sub>0</sub>, auch eine sehr kleine, eine Binomialverteilung (diskrete Verteilung) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass nach der Zeitdauer ''t'' von ursprünglich ''N''<sub>0</sub> Atomkernen eine Anzahl ''n'' noch nicht zerfallen ist. Die Bestimmung des Erwartungswertes ''µ''(''n'') dieser Binomialverteilung führt zum Zerfallsgesetz: | ||
: | : <math> \mu(n) = N_0 \cdot P(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} = N(t) </math>; | ||
Damit sind auch ''N''(''t'') und dessen zeitliche Ableitung dN/dt, d. h. die Aktivität, Erwartungswerte.<br> | Damit sind auch ''N''(''t'') und dessen zeitliche Ableitung dN/dt, d. h. die Aktivität, Erwartungswerte.<br> | ||
Auch bei den in der Praxis des Strahlenschutzes und der Überwachung von radioaktiven Stoffen vorkommenden sehr kleinen Werten der Aktivität ist die dann vorliegende Atomanzahl noch sehr groß, so dass sie extrem gering vom Erwartungswert abweicht.< | Auch bei den in der Praxis des Strahlenschutzes und der Überwachung von radioaktiven Stoffen vorkommenden sehr kleinen Werten der Aktivität ist die dann vorliegende Atomanzahl noch sehr groß, so dass sie extrem gering vom Erwartungswert abweicht.<section begin=more /> | ||
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Version vom 25. Februar 2021, 15:33 Uhr
Als radioaktiver Zerfall wird der Vorgang der spontanen Kernumwandlung von Radionukliden bezeichnet. Die Gleichung des radioaktiven Zerfalls (Zerfallsgesetz) lautet, Falls keine gleichzeitige Nachbildung erfolgt:
- bzw.
- mit
Dabei bedeuten:
N(t): Anzahl der zum Zeitpunkt t vorhandenen Atome eines Radionuklids (Erwartungswert);
N0: Anzahl der Atome zum Zeitpunkt t = 0
A(t): Aktivität des Radionuklids zum Zeitpunkt t in Bq (Erwartungswert);
A0: Aktivität des Radionuklids zum Zeitpunkt t = 0 in Bq;
λr: Zerfallskonstante des Radionuklids r in s-1;
tr: Halbwertszeit des Radionuklids r in s.
Im Fall von radioaktiven Zerfallsreihen gelten je nach Anzahl der Tochternuklide entsprechend erweiterte Gleichungen.
Anmerkung:
Das Zerfallsgesetz kann mit einem rein statistischen Konzept begründet werden, welches auf zwei fundamentalen Annahmen beruht:
- der Zerfall eines einzelnen radioaktiven Atomkerns ist unabhängig von dessen Vergangenheit, d. h. Atomkerne altern nicht, und
- für beliebige zwei Atomkerne eines Radionuklids genügen die Zeiten bis zum Zerfall exakt derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Aus Annahme I kann mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung für einen einzelnen Atomkern die Wahrscheinlichkeit P(t) hergeleitet werden, dass dieser nach der Zeitdauer t noch nicht zerfallen ist:
Nach Annahme II ist P(t) für alle Atomkerne dieses Radionuklids gleich.
Es gilt weiter, dass für eine beliebige Anzahl N0, auch eine sehr kleine, eine Binomialverteilung (diskrete Verteilung) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass nach der Zeitdauer t von ursprünglich N0 Atomkernen eine Anzahl n noch nicht zerfallen ist. Die Bestimmung des Erwartungswertes µ(n) dieser Binomialverteilung führt zum Zerfallsgesetz:
- ;
Damit sind auch N(t) und dessen zeitliche Ableitung dN/dt, d. h. die Aktivität, Erwartungswerte.
Auch bei den in der Praxis des Strahlenschutzes und der Überwachung von radioaktiven Stoffen vorkommenden sehr kleinen Werten der Aktivität ist die dann vorliegende Atomanzahl noch sehr groß, so dass sie extrem gering vom Erwartungswert abweicht.
